Matte!
Okej, tusen tack för din förklaring! Jag tror att den hjälpte en del. Själva logiken bakom tror jag att jag fattar (när x närmar sig c ska f(x) närma sig ett funktionsvärde A, om vänster- och höger-gränsvärdena är ekvivalenta finns gränsvärdet A etcetc), problemet är när jag ska använda definitionen för att beräkna saker.
Exempelvis vet jag att det finns en uppgift som ser ut så här:
limx->c f(x) = k då f(x) = k, k är en konstant tillhörande reella talmängden.
Hur är det meningen att jag ska gå tillväga för att lösa detta problem?
Jag tänker något så här:
|x-c| < delta
|f(x)-A| = |k-k| < epsilon
Eftersom k-k = 0 får vi: o < epsilon, vilket stämmer enligt vår definition av gränsvärden. Detta ger oss att så länge vi väljer ett |x-c| < delta har vi visat att detta gränsvärde existerar. Det är här jag kör som fast? Det känns liksom självklart att det bara gäller för oss att välja ett delta > |x-c|, eftersom vårt epsilon alltid kommer vara större än 0? Menar hur skulle jag gjort ifall jag inte lyckats få 0 > epsilon, typ bevisa limx->c f(x) = A, f(x) = lnx (x > 0)
|x-c| < delta
|f(x)-A| = |ln x -A| < epsilon.
Hade det räckt att enbart lösa ut ett samband mellan epsilon och x och sedan använda det sambandet för att säga att det bara är att hitta ett delta större än det?
Förlåt jag vet inte ifall jag makear någon sense alls i mina frågor, jag antar att det jag har svårt att fatta är hur jag faktiskt använder definitionen.
Första uppgiften är en sån där uppgift som är så lätt att den blir svår och förvirrande, eftersom |f(x)-k| alltid är = 0, som du säger. Då duger vilket delta som helst. Vill man vara ambitiös så kan man hänvisa till att f är kontinuerlig* och "jobba med" epsilon-delta definitionen av kontinuitet, men det är fullkomligt onödigt i det enkla fallet. |f(x)-k| konstant = 0 så i synnerhet är det < epsilon för alla epsilon > 0, precis som du säger.
I fallet f(x) = ln(x) (x>0) så hade jag troligen använt mig av att ln(x) är kontinuerlig* och obegränsad på x > 0. Det betyder att om A är positivt, så är A = ln(a) för något a (dessutom är a = e^A men det är inte nödvändigt att veta).
Så |f(x)-A| = |ln(x) - ln(a)| = |ln(x/a)| och vi vill att detta ska gå mot 0. Vad krävs för att ln(x/a) går mot 0? Jo att x/a går mot 1, ty ln(1) = 0. Och att x/a går mot 1 är ekvivalent med att x går mot a. Så vi kan redan nu säga att ln(x) - A går mot 0 om och endast om x går mot a. Så säg att a = c i detta fall, dvs att A = ln(c); om a inte är = c så kan vi redan nu säga att gränsvärdet då x går mot c inte är lika med A.
Egentligen är vi nu klara med gränsvärdet, men vad gör man om man har fått i uppgift att hitta ett delta till ett givet epsilon? Det är mer av ett hantverk och du uppmanas att använda flera olikheter, t ex triangelolikheten, kanske att f(x-c) är mindre än eller lika med f(x) - f(c) (om det stämmer för din givna funktion) och sedan arbeta med f(x) - f(c), etc. Det finns ingen korrekt algoritm för att hitta passande deltan och dessutom gör det inget om du på slutet får att resultatet är mindre än t ex 3*epsilon för det går mot 0 lika snabbt som epsilon går mot 0. Har funderat lite till och från under julfirandet men har inte haft tid att leta seriöst efter något passande delta. Exemplen i boken är ofta noggrant valda och omformulerade efter att författaren själv löst uppgiften.
Förresten: utanför tentamens väggar så räcker det att fråga sig "är funktionen kontinuerlig i x = c?" Om svaret är ja, så är gränsvärdet = f(c). Epsilon-delta definitionen av kontinuitet är pretty much ord för ord densamma som epsilon-delta definitionen av gränsvärde, när vi talar om de reella talen.
* Att utnyttja kontinuiteten kan anses vara ett cirkelresonemang eftersom kontinuitet kan definieras med epsilon-delta gränsvärden, men det finns många andra sätt att definiera kontinuitet så det är egentligen inget cirkelresonemang.
Jag vill minnas att vi pratade om Laplace-transformer i den här tråden för ett par månader sedan. Här är ett exempel på hur Laplace-transformer kan användas för att lösa ordinära differentialekvationer, lösningen kan se komplicerad ut men alla utförda Laplace-transformer i lösningen använder standardresultat som lär finnas i varenda tabell över vanliga Laplace-transformer.
EDIT: Det ska förstås stå f(t) direkt i början, inte f(n).
Flera lärare gillar att avsluta tentor med en extra svår, extra rolig uppgift som verkligen visar vilka studenter som kan sin sak. Jag gav mig an en sån uppgift när jag löste gamla tentor tidigare idag, jag lyckades lösa ungefär 75% av uppgiften (dock med ett slarvfel) och med hjälp av ett tips från facit insåg jag att jag egentligen visste hur jag skulle lösa resterande 25%, det klickade bara inte förrän dess.
Högupplöst: http://i.imgur.com/Jc9DJhG.png
Jag älskar när långa beräkningar slutar i mycket simpla uttryck!
Nu är det så att jag har en uppgift i matematik och den sista frågan har jag kört fast på då den tja..inte tilltalar mig.
Så om någon skulle vilja vara så vänlig och skänka en snilleblixt vore det oerhört tacksamt.
Frågan lyder som följande:
Kan du komma på en situation i livet där denna funktion skulle kunna passa? Vilka enheter skulle du använda för den situationen?
Ungefär såhär duktig är jag xD
Citat från Heroin:
Nu är det så att jag har en uppgift i matematik och den sista frågan har jag kört fast på då den tja..inte tilltalar mig.
Så om någon skulle vilja vara så vänlig och skänka en snilleblixt vore det oerhört tacksamt.
Bild: https://storage.omnius.se/exam/exam_1372352828.jpg
Frågan lyder som följande:
Kan du komma på en situation i livet där denna funktion skulle kunna passa? Vilka enheter skulle du använda för den situationen?
I grafen så ser vi att y = 200 - 10x, dvs y "börjar på" 200 (då x = 0) och minskar med 10 för varje x. När x = 20 är y = 0, så vi kan säga att vid x = 20 har vi "slut på" y (det sistnämnda förutsätter förstås att i tolkningen, den situation i livet där grafen kan användas, så är y en ändlig resurs som inte kan vara negativ). Ett första hint vore att tänka på en affär.
Citat från Jimmy:
I grafen så ser vi att y = 200 - 10x, dvs y "börjar på" 200 (då x = 0) och minskar med 10 för varje x. När x = 20 är y = 0, så vi kan säga att vid x = 20 har vi "slut på" y (det sistnämnda förutsätter förstås att i tolkningen, den situation i livet där grafen kan användas, så är y en ändlig resurs som inte kan vara negativ). Ett första hint vore att tänka på en affär.[/i]
Hade en affär varit så passande? Med tanke på att funktionen är kontinuerlig, och har svårt att tänka mig 1.24 ostar. Det skulle snarare ge en diskret funktion.
Tänk kanske snarare en vätska som rinner ut ur något. Säg vatten ur ett handfat. Precis som Jimmy tänker jag inte ge ett precist svar, men vill du ha ytterligare tips är det bara att fråga.
Lösvikt är kontinuerligt.
Hmm, om uppgiften är att bestämma värdemängd och definitionsmängd för f=log(x), där vi säger att log är 10-logaritmen då.
Hur kan man eventuellt berätta detta på ett sätt för en gymnasie-elev som inte är för kompakt och svårt och inte för långdraget heller. Ingen intuitiv förklaring utan mer som en strikt lösning på problemet är vad jag är intresserad av.
Jag förklarade det så att vi testade alla olika fall och visade därmed vilka mängder som finns i princip men det blev lite långt o jobbigt att hålla i huvudet. Så funderar på nåt bättre...
Just logaritmer brukar ju vara svårt att förstå för många gymnasieelever, bristen på intuition och förståelse om vad logaritmer gör kan försvåra saken. Har personen gått igenom (och åtminstone till viss del förstått!) vad definitionsmängd och värdemängd är, i lite enklare fall? T ex att 0 inte finns i definitionsmängden eller värdemängden till f(x) = 1/x och att inga negativa tal finns i värdemängden till f(x) = x². De exemplen är ju enklare att förstå och då kan det vara lättare att greppa vad som avses med definitionsmängd och värdemängd över huvud taget.
Mjo, tror att eleven har koll på det. Jag kom ett vettigt sätt tror jag.
Om man tittar på 10^x=y <=> x = lg y så kan man man först bestämma Def.mä o Vär.mä till dena ena ganska enkelt med lite tester.
Då får man ju y>0 och alla x.
Inverterar man sen funktionen y och frågar efter Defmängd o Värdmängd igen så kan man ju bara säga att man redan bestämt dessa och substituera in x=>y o y=>x ger:
x>0 och alla y
Då har man i princip bevisat det tänker jag mig : p
på tal om logaritmer
Jävligt coolt. Det finns s.k. space-filling (Peano) curves som är endimensionella kurvor som fyller upp flerdimensionella ytor, t ex en triangel eller en fyrdimensionell kub:
Det som jag tycker är allra mest coolt är att man inte behöver skriva ned en formel för funktionerna i fråga. Det räcker att
1. Hitta ett sätt att dra en kontinuerlig kurva genom ytan på ett, i viss mening, tillräckligt bra sätt. Se bilden.
2. Visa att godtycklig punkt på kurvan ligger "tillräckligt nära" närliggande punkter, även detta har en mer precis innebörd än vad jag skriver här. För den som har läst lite högskolematematik så ska Cauchy-följden |f_n(t) - f_m(t)| vara likformig konvergent (och därmed ha en kontinuerlig gränsfunktion f(t)).
3. Gränsfunktionen f(t) ska täcka upp hela ytan, den tekniska termen är att f(t) ska vara surjektiv, och att f(t) är surjektiv kan man bevisa utan att känna till någon formel för f(t).
Klart.
Du måste vara inloggad för att skriva i forumet