Matte!
:') Jag har kämpat med att förstå detaljerna i ett bevis som jag ska kunna till tentan i kommutativ algebra, så jag valde att omformulera stora delar av beviset! Beviset blev bökigare men jag förstår beviset tusen gånger bättre och min professor hade inga invändningar när jag bad honom titta igenom beviset. Sjukt gött.
Överst i bild är satsen och beviset så som det står i boken.
"An introduction to continous optimization" vinner mitt pris för kortast sammanfattning av linjär algebra och flervariabelanalys någonsin: fyra respektive tre sidor!
Någon här som kan förklara för mig hur man får ut ekvationen till ett klot från 3 punkter?
Citat från HerrMyra:
Någon här som kan förklara för mig hur man får ut ekvationen till ett klot från 3 punkter?
Jag förmodar att det gäller en (ihålig) sfär i dimension 3 och att du menar att du känner till tre punkter på sfären. Stämmer det? Uppgiften går nog utmärkt att lösa med polära koordinater, men här följer en (visserligen ineffektiv) approach som inte använder polära koordinater.
En sfär i dimension 3, med radie r och mittpunkt som ges av vektorn (a,b,c), är på formen
(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²
dvs alla punkter (x,y,z) i tre dimensioner som alla har avståndet r från mittpunkten (a,b,c). Om du redan från början känner till tre tredimensionella punkter (vektorer)
(p,q,r)
(p',q',r')
(p'',q'',r'')
som alla ligger på sfären, så är
(p-a)² + (q-b)² + (r-c)² = r²
(p'-a)² + (q'-b)² + (r'-c)² = r²
(p''-a)² + (q''-b)² + (r''-c)² = r²
Eftersom alla vänsterleden = r² så är alla vänsterleden lika med varandra. Dvs
(p-a)² + (q-b)² + (r-c)² = (p'-a)² + (q'-b)² + (r'-c)² = (p''-a)² + (q''-b)² + (r''-c)²
Använd nu kvadreringsregeln på alla kvadrater så får du i alla tre fallen termer a², b² och c² och dessa kan strykas utan att likheten mellan de tre uttrycken förstörs. Så om vi t ex väljer ut två av de tre uttrycken:
(p-a)² + (q-b)² + (r-c)² = (p'-a)² + (q'-b)² + (r'-c)²
så skriver vi om dessa som
(p² - 2pa + a²) + (q² - 2qb + b²) + (r² - 2rc + c²) = (p'² - 2p'a + a²) + (q'² - 2q'b + b²) + (r'² - 2r'c + c²)
som är ekvivalent med
(p² - 2pa) + (q² - 2qb) + (r² - 2rc) = (p'² - 2p'a) + (q'² - 2q'b) + (r'² - 2r'c)
Nu är det t ex möjligt att samla alla a-termer på samma sida:
a(2p' - 2p) = -p² - (q² - 2qb) + (r² - 2rc) + p'² + (q'² - 2q'b) + (r'² - 2r'c)
om p' inte är = p så kan man nu dividera med (2p' - 2p) och få att
a = [-p² - q² + 2qb + r² - 2rc + p'² + q'² - 2q'b + r'² - 2r'c] / (2p' - 2p)
(om p = p' så kan du istället samla alla b-termer eller alla c-termer i vänsterledet.)
Allt detta kan se rörigt ut, men i verkligheten har du ju tillgång till verkliga siffror så du behöver inga p, p', p'', q, etc. utan kan helt enkelt byta ut alla såna bokstäver mot siffror. T ex kanske du i ditt fall har, säg, att
(p,q,r) = (1,2,3)
(p',q',r') = (4,5,6)
så då skulle ovanstående likhet helt enkelt vara
a = [(-1) - 4 + 4b + 9 - 6c + 16 + 25 - 10b + 36 - 12c] / (8 - 2)
dvs efter förkortning
a = 61/6 - b - 3c
genom att para ihop alla kombinationer av två av de tre uttrycken som = r² på det här sättet, så får du fram ett ekvationssystem som kanske säger att
a = 61/6 - b - 3c
a = 17/8 - 4b + 2c
a = 108/19 + 3b - 8c
eller något sånt, och eftersom dina tre punkter sannerligen ligger på sfären så ska det ekvationssystemet gå att lösa. Säg att a = 20 eller något. Då kan du helt enkelt skriva om ekvationssystemet som
20 = 61/6 - b - 3c
20 = 17/8 - 4b + 2c
20 = 108/19 + 3b - 8c
och lösa ut b:
b = (61/6 - 20) - 3c
b = [(17/8 - 20) + 2c] / 4
b = [(108/19 - 20) - 8c] / 3
och sedan följer det typ automatiskt vad c måste vara. Så då vet du vilka de tre koordinaterna a,b,c är och att räkna ut radien blir då trivialt, bara att ta vilken som helst av likheterna som är = r² och mata in dina värden för a,b,c och så får du ut en siffra. Den siffran = r² så då tar du roten ur för att få fram r.
Till slut har du alltså fått fram att dina tre punkter ligger på sfären med centrum i (a,b,c) och radien r.
Är totalt fast med den här uppgiften.
Instinktivt ville jag dela triangeln i två rätvinkliga trianglar, och beräkna deras vinklar genom att sätta deras två kateter som en funktion av x. Visserligen fick jag ut en ekvation, men den var för mig omöjlig att derivera (för att beräkna det optimala värdet för x). Även testat cosinussatsen, men även den gav en omöjlig derivering. Kan nämligen inte derviera arccos, arcsin, eller arctan, och tror inte det förväntas att jag ska kunna det heller.
Vill givetvis inte ha svaret, men om någon har en aning om vilken väg jag ska gå, så uppskattas det!
Jag har faktiskt tänkt på detta med, men känns för mig som att jag då måste bevisa att den största vinkeln faktiskt är när personen är i ögon höjd med mittpunkten. Vinkeln blir ju nämnvärt större desto närmare duken personen befinner sig.
Du nämner att detta är alternativ ett, har du möjligtvis fler?
Citat från CloudEleven:
Jag har faktiskt tänkt på detta med, men känns för mig som att jag då måste bevisa att den största vinkeln faktiskt är när personen är i ögon höjd med mittpunkten. Vinkeln blir ju nämnvärt större desto närmare duken personen befinner sig.
Du nämner att detta är alternativ ett, har du möjligtvis fler?
Du har rätt, vinkelns storlek beror på åskådarens position i båda riktningarna, fel av mig. Dock är det nog ganska svårt att optimera vinkeln om den inte får bero av en triginversfunktion, vill nog återkomma om det, i övrigt tycker jag mycket väl att du kan kolla upp derivatan till Arccos om du vill prova lösa den så.
Citat från synshadows:
Du har rätt, vinkelns storlek beror på åskådarens position i båda riktningarna, fel av mig. Dock är det nog ganska svårt att optimera vinkeln om den inte får bero av en triginversfunktion, vill nog återkomma om det, i övrigt tycker jag mycket väl att du kan kolla upp derivatan till Arccos om du vill prova lösa den så.[/i]
Det är lite så jag också känner. Har gått många olika vägar, men alltid slutar det med arctan eller arccos. När jag använder wolframalpha för att derivera min funktion får jag ett värde som känns mycket lågt. Kan såklart ha fel, dock.
Citat från CloudEleven:
Citat från synshadows:
Du har rätt, vinkelns storlek beror på åskådarens position i båda riktningarna, fel av mig. Dock är det nog ganska svårt att optimera vinkeln om den inte får bero av en triginversfunktion, vill nog återkomma om det, i övrigt tycker jag mycket väl att du kan kolla upp derivatan till Arccos om du vill prova lösa den så.
Det är lite så jag också känner. Har gått många olika vägar, men alltid slutar det med arctan eller arccos. När jag använder wolframalpha för att derivera min funktion får jag ett värde som känns mycket lågt. Kan såklart ha fel, dock.
Vad får du för svar då? Du kan avrunda bara, behöver inget uttryck.
x=1.6 ungefär har jag för mig.
Löste uppgiften med en grafritande räknare, min lärare hade "glömt" att berätta att jag fick använda mig av det. Aja. Fick A på hela matte 5 kursen, så jag är glad!
Ok skriver tenta i envariabel snart, och precis som 98% av alla som går den kursen förstår jag inte ett piss av definitionen av gränsvärden. Är det någon som sitter på en länk till en smart förklaring eller? epsilondelta my ass
Citat från GlenCoco:
Ok skriver tenta i envariabel snart, och precis som 98% av alla som går den kursen förstår jag inte ett piss av definitionen av gränsvärden. Är det någon som sitter på en länk till en smart förklaring eller? epsilondelta my ass
Gränsvärde är ju det värde en funktion eller serie går mot. Eller vad var det exakt du är ute efter? :)
Glencoco: Här är en halvtaskig förklaring. Epsilon-delta bevis är ett någorlunda abstrakt koncept och jag har aldrig förklarat det för någon förut, så det finns risk att min förklaring genererar fler frågor än svar. Men jag hoppas att det finns någon nyttig info att extrahera och ställ jättegärna frågor om sådant som är oklart.
Om jag minns rätt ser definitionen ut något sånt här
Man kan tycka att jag borde ha skrivit f(c) istället för A, men det är inte säkert att f(c) existerar även om gränsvärdet existerar. Låt t ex f(x) = sin(x) / x och c = 0, då existerar gränsvärdet ( = 1) men f(c) existerar inte. Så strikt talat har f(c) ingen innebörd i det fallet.
Principen bakom epsilon-delta bevis är att om f(x) faktiskt går mot A, ja då måste det ju finnas funktionsvärden godtyckligt nära A, eller hur? Om det hade funnits funktionsvärden jättenära men inte godtyckligt nära, säg att den närmsta punkten ligger 0.00000000001 från A, då är det inte bra nog för att A ska vara ett gränsvärde till f(x). Det måste finnas funktionsvärden precis hur nära A som helst, dvs godtyckligt nära, dvs med avstånd < epsilon för vilket epsilon som helst. En gnutta mer formellt: Varje omgivning av A ska innehålla funktionsvärden av f, oavsett hur liten omgivning vi väljer.
Men det duger inte att det finns funktionsvärden precis hur nära A som helst, för i så fall hade vi kunnat kalla A för ett gränsvärde i denna situation:
genom att säga "jo men toppen på den där kullen består ju av funktionsvärden som ligger godtyckligt nära A". Det är inte acceptabelt, det är inte vad vi menar när vi säger gränsvärde och dessutom kommer x-värdet x = c inte in i bilden någonstans. Så vi måste kräva inte bara att varje omgivning till A innehåller funktionsvärden f(x), men att f(x) ligger tillräckligt nära A om x ligger tillräckligt nära x = c.
Det är här delta kommer in i bilden: Oavsett vilket epsilon > 0 vi väljer, dvs oavsett vilket avstånd mellan f(x) och A som vi tittar på, så ska det existera något delta > 0 sådant att alla x-värden vars avstånd till x = c är mindre än delta, har egenskapen att avståndet mellan f(x) och A är mindre än epsilon.
Värdet på delta bestäms aldrig explicit och delta får vara olika stort för olika val av epsilon, men det ska existera något sådant delta oavsett vilket epsilon vi väljer.
Ett tillägg: Det finns två inblandade processer:
(1) x går mot c, dvs |x-c| --> 0
(2) f(x) går mot A, dvs |f(x)-A| --> 0
och att bevisa gränsvärdet är att bevisa att om x går mot c, så går f(x) mot A, dvs bevisa att (1) implicerar (2); att
|x-c| --> 0 implicerar |f(x) - A| --> 0
Dvs
Om |x-c| är litet, så är |f(x) - A| litet
Dvs
Om |x-c| < delta så är |f(x) - A| < epsilon
För något delta vars storlek beror på vilket epsilon man väljer.
Du måste vara inloggad för att skriva i forumet