Matte!
jag förstår nada.
Helvete vad jag älskar matte ibland. Hade nog den roligaste dubbeltimman i mitt liv nyss, om än ansträngande.
Vi höll på med differentialekvationer för att utföra beräkningar på fritt fall med luftmotstånd. Läraren ställer då upp formeln:
mv' = mg - kv^2 <=> v' = g - (k/m)v^2
Därefter säger han att vi inte behöver lösa diff. ekvationen, då det är över våran nivå att lösa differential ekvationer där ena variabeln kvadreras.
Challenge accepted.
Satt hela dubbellektionen, plus någon timma efter lektionens slut, för att lösa
y' = y^2 +ay + b
Klassiskt nog lyckades jag göra ett teckenfel vid någon punkt, antagligen när jag försökte göra en bakvänd faktorisering. Vet inte vad jag gjorde för fel, men fan, close enough!
Edit: Notera att jag inte hade några förkunskaper överhuvudtaget om hur man löser en sådan ekvation.
Bra jobbat!
Diffekvationer är i allmänhet ett förvånansvärt svårt område - inte bara enligt min åsikt alltså; när man löser [partiella] diffekvationer i praktiken så behöver man dela upp problemet i många olika segment som i sin tur involverar flera komplicerade tekniker för att bland annat reducera segment till lösandet av flera ordinära diffekvationer. Så om man ska skriva ned hela processen när man löser en partiell diffekvation kan man behöva flera sektioner och undersektioner som täcker flera A4. Dessutom går många diffekvationer i praktiken inte att lösa exakt, utan det bästa man kan komma fram till är approximationer - kanske godtyckligt goda approximationer så att man kan garantera att felet är så litet att det inte kan göra någon märkbar skillnad i praktiken, men likväl approximationer.
Jag ska läsa två kurser om partiella diffekvationer under min utbildning, har redan läst en om ordinära diffekvationer och ska läsa en till, mer avancerad kurs om ordinära diffekvationer senare under utbildningen. Totalt 30 hp diffekvationer, hoppas att jag är någorlunda kompetent efter det. :')
Tackar!
Utan tvekan, dock gör deras användbarhet utan tvekan upp för det. Tycker det är otroligt roligt att fiffla fram och tillbaka med ekvationer, i alla dess former. Renskrivet blev lösningen tre A4 lång, men med de misslyckade försöken steg antalet upp i säkerligen 20.
Personligen har jag svårt för approximationer. Visst, de funkar, men det känns inte "rätt", som om man har fuskat.
Har dock en fråga, så jag kan lugna mitt sinne. Angående mitt teckenmisstag, som jag ännu inte lyckats lösa. Jag får en bit in i lösningen fram
1/((u+v)(u-v))
Där u = y + a/2
v = (0.25b^2-b)^0.5
För att kunna integrera detta försökte jag faktorisera baklänges (vet ännu inte vad den korrekta termen är);
1/((u+v)(u-v)) = A/(u+v) + B/(u-v)
Varvid
1 = A(u-v) + B(v+u)
Här visste jag inte riktigt hur jag skulle gå till väga, så jag testade A=B samt A=-B
Fick fram två möjliga lösningar, varvid A=-B=1/(2v) var den jag sökte. Dock gav detta ett teckenfel. Svaret borde ha blivit
(1/(2v)) / (v+u) - (1/(2v)) / (v-u)
Men jag fick svaret
(1/(2v)) / (u-v) - (1/(2v)) / (v+u)
(Kan minnas fel, har inte mina anteckningar framför mig, men är 90%)
Vad gjorde jag för fel? Ursäktar förövrigt, önskar jag kunde LaTex, ska nog försöka lära mig det!
Notera att du har skrivit (u+v) respektive (u-v) medan det i svaret står (v+u) respektive (v-u); den enda skillnaden är att (v-u) = -(u-v) men den skillnaden är förstås viktig att ta i åtanke. Genom att byta plats på u och v i det korrekta svaret får vi att
(1/(2v)) / (v+u) - (1/(2v)) / (v-u) =
= (1/(2v)) / (u+v) - (1/(2v)) / -(u-v) =
= (1/(2v)) / (u+v) + (1/(2v)) / (u-v) =
= A / (u+v) + A / (u-v)
så det ser ut som att fallet A = B trots allt är det korrekta fallet. Problemet nu är förstås att fallet A = B ger A = 1/2u snarare än 1/2v, så något är fortfarande galet. Kan du skriva hur det kom sig att du definierade u och v just så? Jag förstår att det har med PQ-formeln att göra, men berätta gärna ändå. Also, i PQ-formeln så ska det vara ett minustecken framför a/2 och i roten ska det vara a²/4 - b, inte b²/4 - b, kan detta vara en felkälla eller råkade du skriva fel när du skrev inlägget?
Så resonerade jag med, det tycks inte stämma ihop riktigt. Känns irriterande då jag vet att svaret finns där någonstans.
Det med roten är helt korrekt, a^2 ska det vara. Detta skrev jag dock bara fel på här, i mina beräkningar använde jag a! Resonerade såhär;
y'=y^2+ay+b
y'/(y^2+ay+b) = 1
Därefter skrev jag om
y^2+ay+b
till
y^2 + ay + a²/4 - a²/4 + b =
= (y+a/2)^2 - ( a²/4 -b)
u = y+a/2
v = ( a²/4 -b)^0.5
så att
y^2 + ay + a²/4 - a²/4 + b = u^2 - v^2 = (u+v)(u-v)
Ja okej, då så, du har alltså helt enkelt skrivit om polynomet på faktorform. u' = y' + 0 = y' så problemet har reducerats från
y' = y² + ay + b
till
u' = (u+v)(u-v) = u² - v²
Löser man ovanstående diffekvation (vilken kanske är enklare än den ursprungliga) så kan man enkelt använda den lösningen för att lösa den ursprungliga. Hursomhelst kommer jag tyvärr inte fram till så mycket, det är lite sent på kvällen.
Precis så, och för att lösa denna diffekvationen gjorde jag så här
u' = (u+v)(u-v)
u'/(u+v)(u-v) = 1
Därefter faktoriserade jag 1/(u+v)(u-v) bakvänt för att få fram A/(u+v) + B/(u-v), varvid
Au'/(u+v) + Bu'/(u-v)
Integrerar uttrycket och faktoriserar ut konstanterna
A* (int) du/(u+v) + B (int) du/(u-v) = (int) 1 dx
( (int) var det det bästa substitutet för integraltecknet jag kunde komma på)
A*ln(u+v) + B*ln (u-v) = x + c
Sen löser man helt enkelt för y.
Detta fungerade alldeles underbart om A=B=1/2v, men på något sätt är det inte så.
Jag kan bidra med lite omskrivningar som kanske kan hjälpa till - förutsatt att du inte redan kommit fram till dessa omskrivningar själv förstås.
A*ln(u+v) + B*ln (u-v) =
= ln( [u+v]^A ) + ln( [u-v]^B ) =
= ln ( [u+v]^A * [u-v]^B ) = x + c
=> [u+v]^A * [u-v]^B = e ^ (x + c)
Om A = B så ger detta att
[u + v]^A * [u-v]^A = e ^ (x + c)
=> [u + v] * [u-v] = e ^ (x + c)/A
dvs
y(x)² + ay(x) + c = e ^ [ (x + c) / A(x) ]
(man får ju inte glömma att A kan vara en funktion av x och därmed påverka hur ovanstående högerled deriveras)
Så
y'(x) = e ^ [ (x + c) / A(x) ]
Edit: Ja och om A = B kan man förstås få fram A(x) från formeln A*ln(u+v) + B*ln (u-v) = x + c, dvs
A(x) = (x + c) / ln[ u(x)² - v² ]
(kom ihåg att u = u(x) är en funktion av x men v är konstant. Kom även ihåg att alla inblandade x *kanske* tar ut varandra så att A(x) i själva verket är en konstant, det kommer vara fallet om A faktiskt är = 1/2v eftersom 1/2v är en konstant)
Den delen av funktionen löser jag fint! Det är att just få ut A samt B som inte går helt. Får fortsätta klura, säger till om jag löser problemet, ifall du är intresserad!
Ja, gör så!
------------------------------
Jag gillar egentligen att vissa saker inom matematiken denoteras med specifika fonter för att alltid göra det uppenbart vad bokstaven syftar på, t ex Hilbert-rum denoteras H i samma "skrivstilsfont" som ni ser på nedanstående bild, men det kan bli jävligt bökigt och jobbigt att läsa..
Det är för övrigt laplace-transformer det rör sig om på bilden.
Laplacetransformationer, har för mig att jag läst något om detta. Var inte det en metod för att lösa vissa diffekvationer? Eller var det att analysera någon slags ekvation. Har något vagt minne av det!
Laplacetransformen kan indeed användas för att lösa vissa diffekvationer och är ett specialfall av den mer generella fouriertransformen, som i sin tur också används för att lösa diffekvationer (bland annat).
Vad är det slags diffekvationer den kan användas för? Fouriertransformen har jag inte hört om haha! Känns bra att jag hört om specialversionen, men inte den generella versionen!
Du måste vara inloggad för att skriva i forumet