Matte!
För den som tycker att derivata är klurigt:
Derivata är samma sak som en funktions hastighet.
Eftersom x är positionen på den horisontella axeln och f(x) är positionen på den vertikala axeln, är det vettigt att fråga sig hur mycket positionen på den vertikala axeln ökar eller minskar om man tar ett steg på den horisontella axeln, dvs om vi börjar i någon punkt x och går ett h längdenheter stort steg åt höger så att vi kommer till punkten x + h på den horisontella axeln, hur mycket skiljer sig f(x + h) från f(x) på den vertikala axeln? Med andra ord, hur mycket större eller mindre än f(x) är f(x + h)?
För att ge ett konkret exempel: Om vi är ute och kör bil, vi befinner oss just nu i någon punkt som jag helt enkelt kommer kalla "startpositionen" och hastighetsmätaren är sönder, så kan det vara intressant att ta reda på hur snabbt vi kör. Vad vi skulle kunna göra är att köra i 1 minut från startpositionen, mäta hur långt vi kör under denna tid - säg att vi kör 1 km - och sedan dela sträckan med tiden. Detta visar att bilen kör i 1 km / 1 min = 60 km / h.
Men det är inte nödvändigtvis bilens hastighet i startpositionen, det är bara bilens genomsnittshastighet under den minuten. Det är inte så troligt att vi håller exakt samma hastighet under en minuts tid, det är troligare att vi kan hålla exakt samma hastighet under, säg, 6 sekunder, så vi testar att istället mäta sträckan som vi kör under 6 sekunder (återigen från startpositionen). Säg att vi kör 96 meter under dessa 6 sekunder, då är vår hastighet 96 meter / 6 sekunder = 57.6 km / h. Detta är en bättre approximation av bilens hastighet i startpositionen.
En ännu bättre approximation skulle vi få om vi istället mätte sträckan under 1 sekunds tid, eller 0.1 sekunders tid, etc. Ju kortare tid vi mäter, desto bättre approximation får vi av bilens hastighet i startpositionen (förutsatt att vi har tillräckligt bra mätutrustning).
I detta exempel är x = hur mycket klockan är och f(x) = bilens position. Låt startpositionen vara f(s), med andra ord är bilen i startpositionen vid tiden s och f(s + 6 sekunder) är bilens position 6 sekunder senare. Exemplet i vilket vi mätte sträckan under 6 sekunder från startpositionen kan då skrivas på följande sätt:
På samma sätt fungerar derivator: Utifrån någon startposition x mäter man hastigheten hos f(x) genom att ta ett h längdenheter stort steg åt höger, beräkna hur mycket större/mindre f(x+h) är än f(x) och slutligen dividera med h. Man får en bättre approximation ju mindre h är och i följande gif har jag illustrerat just detta:
* Den vänstra, svarta punkten som inte rör sig är min startposition 0, som jag har valt slumpmässigt. Det är i allmänhet inget speciellt med just 0, jag har bara valt att ha den punkten som startposition i detta fall.
* Den högra, svarta punkten som rör sig har den horisontella positionen 0+h och den vertikala positionen f(0+h), animationen uppstår för att jag låter h bli mindre och mindre. Detta ska jämföras med att mäta bilens avverkade sträcka under kortare och kortare tidsintervall, alltid från samma utgångspunkt.
* Den blåa kurvan är kurvan till f(x)
* Den gröna linjen är tangenten till f(x) i punkten x = 0. Tangentens lutning i punkten x = 0 är lika med funktionens derivata i punkten x = 0.
* Den röda linjen illustrerar genomsnittshastighetens ekvation, ty den röda linjens lutning är helt enkelt k-värdet för er som har jobbat med det. När h blir mindre och mindre så kommer den röda linjen närmare och närmare tangenten till f(0). Tangenten visar just i vilken riktning som funktionen växer snabbast i punkten x = 0.
Alltså: Jag har valt en startposition f(0), jag vill se hur snabbt funktionen växer i vertikal led i just f(0) och jag testar detta genom att undersöka hur mycket funktionen stiger eller sjunker om jag går ett litet steg åt höger. Genom att låta storleken på detta steg bli mindre och mindre får jag en bättre och bättre approximation av hur mycket funktionen stiger i f(0), precis som att man får en bättre och bättre approximation av bilens hastighet genom att mäta sträckan bilen kör under kortare och kortare tidsintervall.
Den teoretiska matematiken är inte begränsad av inexakt mätutrustning, så den kan låta steget h bli oändligt litet - infinitesimalt - och då blir approximationen faktiskt inte längre en approximation, men en exakt beräkning.
Derivata tyckte jag var en av de enklaste delarna av matte 4 och matte 5. En av de få sakerna jag lyckades trycka in i skallen trots ganska rejäla sömnproblem.
Fun fact: Under mer än 2000 år trodde man att Euklidisk geometri (den man lär sig i grundskolan och gymnasiet) var den enda geometrin, men icke-Euklidisk geometri upptäcktes av två olika matematiker, oberoende av varandra, under samma år: 1823.
Följande räkneregler är absolut fundamentala, väldigt viktiga och vääääldigt användbara, med dem kan man förenkla hur många problem som helst. Jag skulle vilja påstå att dessa räkneregler är viktigare än hälften av allt som tas upp i matte 1-4 och de är faktiskt på mellanstadienivå-högstadienivå, men Chalmers diagnostiska prov har visat att en mindre och mindre andel av nyantagna elever på Chalmers ingenjörsprogram kan dessa räkneregler.
Jag har suttit ett litet tag och försökt hitta en approximativ funktion till den primitiva funktionen till standardnormaltäthetsfunktionen. Detta är inom sannolikhet då. I fantasin tycker jag att ArcTan borde kunna användas och jag har fått fram typ 0.0338937 + 0.368637 ArcTan[x] men det är ändå långt ifrån en bra approximation. Observera att jag alltså bara försöker hitta täthetsfunktionens primitiv från o till oändligheten.
En liten bild på hur den borde se ut, har plottat en massa punkter så rent grafiskt ska den se ut exakt såhär:
Arctanfunktionen ser ut såhär då:
Skulle behöva lyfta fram puckeln lite så skulle jag vara nöjd, kommer inte riktigt på vilken parameter man kan skruva på, jag använder Fit I mathematica, men den tillåter inte vilka ansatser som helst heller på funktioner : (
Så jag frågar efter förslag på termer till min ArcTan-funktion som skulle kunna rätta till funktionen : /
den är lite knepig, man kan nästan föreställa sig primitiven som en lång stav som man böjt på ett ställe, lite jobbig funktion I såna fall tycker jag
kan någon hjälpa mig!!!??!!
Hur räknar man ut det här talet? 3x + x delat på x
skulle faktorisera ut x!
x(3+1)/x
Tackar!
Citat från Jonissum41:
Tackar!
Jonas skäms på dig, lyssnar du inte på lektionerna? :p
Vi hade mattenationella idag, och ena frågan var (typ): Du har totalt 300cm2(eller 30dm2,) av en tårta, alltså bara platt. Tårtan ska sedan delas upp i 3 delar. Den på botten är dubbelt så stor som den i mitten, och den i mitten är dubbelt så stor som den översta delen. Hur stor är diametern på de olika delarna? Det jag gjorde var att jag delade 300 på 7, tog det nummret gånger 2, sen orginalnummret (alltså 300/7), och gångrade det med 4, och så fick jag de olika areorna på de olika tårtdelarna. Sedan tog jag var för sig och delade de med pi, sen tog roten ur det talet, sedan gånger två för att få diametern. Har jag gjort helt fel? Eller hur skulle ni göra?
Citat från Lager:
Vi hade mattenationella idag, och ena frågan var (typ): Du har totalt 300cm2(eller 30dm2,) av en tårta, alltså bara platt. Tårtan ska sedan delas upp i 3 delar. Den på botten är dubbelt så stor som den i mitten, och den i mitten är dubbelt så stor som den översta delen. Hur stor är diametern på de olika delarna? Det jag gjorde var att jag delade 300 på 7, tog det nummret gånger 2, sen orginalnummret (alltså 300/7), och gångrade det med 4, och så fick jag de olika areorna på de olika tårtdelarna. Sedan tog jag var för sig och delade de med pi, sen tog roten ur det talet, sedan gånger två för att få diametern. Har jag gjort helt fel? Eller hur skulle ni göra?
300cm^2 =/= 30dm^2 utan 3dm^2
Sen förstår jag inte riktig varför tårtan ska vara platt, menar du att botten är 300cm^2 så sen kan man bestämma höjden själv?
Först ska du bestämma radien, det får man ut genom 300=pi*r^2 <=> r = sqrt (300/pi) <=> r ~ 9,77
Eftersom alla 3 delar i tårtan har samma arean och samma radien så kommer alla 3 delar få samma diameter. När det gäller volym så kan man välja att ha höjden=1cm på toppen, mitten = 2cm och botten = 4cm det behöver inte vara 300 eftersom höjden har ingenting att göra med bottens area.
300cm2 är 3dm2.
1. Räkna ut radien
2. Räkna ut omkretsen.
3. Dela omkretsen på 7
4. Varje del har ett antal 1/7 av omkretsen, största biten har t.ex 4x din sjundedel.
5. Lägg till radien gånger två per bit.
ez pz.
För du skulle väl inte ha diametern av en tårtbitarna, utan omkretsen.....?
Citat från YumeNeDai:
Citat från Lager:
Vi hade mattenationella idag, och ena frågan var (typ): Du har totalt 300cm2(eller 30dm2,) av en tårta, alltså bara platt. Tårtan ska sedan delas upp i 3 delar. Den på botten är dubbelt så stor som den i mitten, och den i mitten är dubbelt så stor som den översta delen. Hur stor är diametern på de olika delarna? Det jag gjorde var att jag delade 300 på 7, tog det nummret gånger 2, sen orginalnummret (alltså 300/7), och gångrade det med 4, och så fick jag de olika areorna på de olika tårtdelarna. Sedan tog jag var för sig och delade de med pi, sen tog roten ur det talet, sedan gånger två för att få diametern. Har jag gjort helt fel? Eller hur skulle ni göra?
300cm^2 =/= 30dm^2 utan 3dm^2
Sen förstår jag inte riktig varför tårtan ska vara platt, menar du att botten är 300cm^2 så sen kan man bestämma höjden själv?
Först ska du bestämma radien, det får man ut genom 300=pi*r^2 <=> r = sqrt (300/pi) <=> r ~ 9,77
Eftersom alla 3 delar i tårtan har samma arean och samma radien så kommer alla 3 delar få samma diameter. När det gäller volym så kan man välja att ha höjden=1cm på toppen, mitten = 2cm och botten = 4cm det behöver inte vara 300 eftersom höjden har ingenting att göra med bottens area.
"[alla] delar i tårtan har samma arean och samma radien"
Nu har du läst fel.
Du måste vara inloggad för att skriva i forumet