Matte!

jag fick F på alla matteprov detta år asg.

Matte är något jag har lätt för. Däremot har jag svårt för språk. Det brukar väl oftast vara att man är bra på antingen eller.
Jag går på universitet nu och utbildningar mig till 4-6 lärare. Så jag kommer läsa matte igen snart och jag ser verkligen fram emot det! Äntligen något jag kan äga alla andra i klassen på :D

Alltså, de här jäkla tentauppgifterna hahah, hade jag läst dessa innan jag började läsa topologi så hade jag tyckt att de var helt absurda. Om man försöker undvika alltför mycket terminologi kan man formulera en av uppgifterna såhär:

Låt P^2 vara mängden av räta linjer som går genom origo i det tredimensionella reella rummet. Exkludera från denna mängd linjen som utgör z-axeln samt alla linjer med z-koordinat 0, och kalla den återstående mängden för X.

(a) Bevisa att varje par av linjer i X är sammankopplade via en kurva i X.

(b) Beräkna vilka kategorier av loopar man kan dra i X.

Edit: Frågan blev lätt när jag väl insåg att jag kunde identifiera X med en punkterad halvsfär, den blev då topologiskt ekvivalent med en cirkel. Cirklar är s.k. path-connected (fråga (a)) och loopar på en cirkel karaktäriseras av antalet hela varv looparna går runt cirkeln, så den s.k. fundamentala gruppen, som består av kategorierna av loopar (fråga (b)), är mängden av heltal.

Låt P^2 vara mängden av räta linjer som går genom origo i det tredimensionella reella rummet.
Så för tillfället är P^2 = P = oändligt. Räta i förhållande till vad?

Exkludera från denna mängd linjen som utgör z-axeln samt alla linjer med z-koordinat 0
Vektorlinjen (0,0,z) respektive 2D planet (x,y,0) ska bort

Kalla den återstående mängden för X.
Vi har då generella vektorn X = (x,y,z) där y och x inte får vara lika med 0 samtidigt, och z får aldrig vara lika med 0

(a) Bevisa att varje par av linjer i X är sammankopplade via en kurva i X.
Misstänker normal eller tangent. Tycker uppgiften är otydlig.

(b) Beräkna vilka kategorier av loopar man kan dra i X.
Hmmm

Punkrock:

1. P^2 är indeed oändligt, men är ej lika med P som består av mängden av räta linjer genom origo i det tvådimensionella planet. P är en äkta delmängd till P^2 om man ser planet som delrum till det tredimensionella rummet. Räta i betydelsen att om x och y är punkter på linjen så är tx + (1-t)y en punkt på linjen för varje t - ett annat sätt att parametrisera dessa linjer är att se varje punkt x i rummet som en geometrisk vektor, linjen x utgörs då av alla skalärmultiplar tx av x.

2. Exakt.

3. Exakt.

4. Uppgiften så som jag har formulerat den är otydlig eftersom jag som sagt har undvikt en massa terminologi, se bilden nedan. En kurva i ett topologiskt rum X är by the way definierad som godtycklig kontinuerlig funktion från intervallet [0,1] in i X, så som den räta linjen f(t) = tx + (1-t)y från punkten x till punkten y i, säg, det n-dimensionella reella rummet eller nåt. Ett annat exempel är kurvan (mer specifikt loopen) f(t) = e^(2pi*i*t) som utgör enhetscirkeln i det komplexa planet.

5. Se bilden nedan.

Såhär ser uppgiften ut:


Edit: Uppgiften löses genom att X (egentligen Y enligt bilden) är så kallat homeomorft med det punkterade planet, dvs det tvådimensionella planet minus origo. X har därmed samma egenskaper som detta plan, som vi sen tidigare vet är path-connected och har heltalen som fundamental grupp. Så vi behöver aldrig utföra nån faktiskt beräkning. Detta punkterade plan är även s.k. homeomorft med enhetscirkeln, vilket jag själv nyttjade i min lösning. Eller ja, jag nyttjade att X är homeomorf med enhetscirkeln, men same shit.

Edit 2: Varför inte inkludera lärarens lösningsförslag.

Det här har jag suttit med i några timmar! Jag märkte att min topologi-lärares lösningsförslag på gamla topologi-tentor kräver resultat som vi studenter inte har hört talas om, så jag bestämde mig för att bevisa resultaten på egen hand! :D



P.S: Jag vet att det inte är kosher att göra sidbrytning i mitten av en sida, men jag ville dela upp teoremen på en sida vardera!

Jag har också Dyskalkyli ):

Citat från Minkzi:

En vän ville att jag skulle förklara exponenter, så jag valde att visa hur man utgår från <i>positiva</i> heltalsexponenter och definierar heltalsexponenter --> rationella exponenter --> idén bakom irrationella exponenter. Har säkert gjort lite fel här och där pga trötthet, men sånt är livet.

https://dl.dropboxusercontent.com/u/47223871/Exponenter.pdf

Alltså, vad är det här ; ( nån här som känner sig pro på att skissa rotorter och nyquistdiagram till överföringsfunktioner på laplace-form x( ? Mina böcker är så himla lat gjorda, hoppar typ över hälften av stegen xO

Waddap. Har precis börjat läsa Matte 4 (D) på distans. Har inte läst matte på två år och har glömt det mesta märker jag nu.
Är inne på min första inlämningsuppgift och behöver lite lätt hjälp hur man ens skriver klart ekvationen jag ska lösa (ja, så mycket har jag glömt.. känns bra)

"I en triangel är två sidor 180mm respektive 120mm och mellanliggande vinkel är 55 grader. Hur stor är triangelns tredje sida?"

Kommer så här långt och sen tar det stopp hur man ens skriver ut alla siffor.
Alltså 2bc cosA
b är ju 120 och c 180, A är 55 grader. HUR TUSAN SKA JAG SKRIVA UT DET. 2*120? 2*120+180+cos55? 2*(120+180+cos55)?


Känner mig urkorkad just nu...

Standardnotationen för "upphöjt till" är "^", så det skulle vara a^2=120^2+180^2-2*180*120*cos(55)

Känns dock som jag är helt ute och cyklar när jag får det till -8 på miniräknaren...

Slog det istället som 120^2 + 180^2 - (2*180) * 180 * cos(55)
fick det till 9632
Roten ur 9632 = 98

Känns som ett mer logiskt svar till hur lång den tredje sidan är..

Paranteser är i detta fall onödiga, enligt PEDMAS, men brukar alltid slänga in några bara för att! Som du har skrivit det är helt korrekt. Vill man vara jättesäker på att det är rätt kan man skriva det som:

(120^2) + (180^2) - (2 * 120 * 180 * cos(55))